Задача 107795
|
|
 |
Условие
Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что 3n–1 – 2n–1 кратно n.
Решение
Подходят все числа вида n = 32t – 22t. Достаточно доказать, что n – 1 делится на 2t, то есть что 32t – 1 делится на 2t (поскольку 22t делится на 2t). Но из равенства 32t – 1 = (3 – 1)(3 + 1)(3² + 1)(34 + 1)...(32t–1 + 1) видно, что 32t – 1 делится даже на 2t+2.
Замечания
1. Из малой теоремы Ферма следует, что при простом n ≠ 2, 3 число 3n–1 – 2n–1 кратно n.
2. Известно, что множество составных n, при которых 2n–1 – 1 делится на n, бесконечно.
