Задача 107796
|
|
 |
Условие
Существует ли такой многогранник и точка вне него, что из этой точки не видно ни одной из его вершин?Решение
Можно сделать пространственный «крест» из 6 «карандашей» — длинных тонких параллелепипедов, примыкающих снаружи к граням единичного куба (куб нужен только для объяснения конструкции). Карандаши лежат по одному на гранях куба симметрично относительно центра куба, причем центр грани карандаша совпадает с центром одной из граней куба.
Каждая пара параллельных карандашей параллельна одной из осей координат и загораживает вершины другой пары, поэтому из центра куба вершин карандашей не видно (рис.).
Остается перекинуть "мосты" между карандашами и получить многогранник. При этом образуются новые вершины, но они будут находиться рядом с вершинами карандашей, так что их тоже не будет видно.
Комментарий.
На плоскости такой пример невозможен: для любого многоугольника из любой
точки вне него видна хотя бы одна вершина (но, возможно, никакая сторона не
видна полностью). Для многогранника можно гарантировать, что хотя бы одна
вершина видна, если есть плоскость, разделяющая точку наблюдения и
многогранник.
