Задача 107824

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?

Решение

  Рассмотрим любое чётное число  N > 9992.  Оно оканчивается чётной цифрой. Поэтому если изменить любую тройку цифр, отличную от последней, то число останется чётным, а значит, составным (из числа 9992 можно получить простое число 0002).
  Значит, нам нужно заботиться лишь о замене последней тройки. Мы построим число N, которое оканчивается на 000. Заменить последнюю тройку цифр числа N – это все равно что прибавить к N некоторое трёхзначное число. Поэтому достаточно найти число, оканчивающееся на 000 и такое, чтобы числа  N,  N + 1,  ...,  N + 999  были составными. Для этого перемножим нечётные числа от 1001 до 1999. Поскольку их 500, а каждое из них меньше 2000, то их произведение меньше чем  2000⁵⁰⁰ = 2⁵⁰⁰·10¹⁵⁰⁰ = 32¹⁰⁰·10¹⁵⁰⁰ < 100¹⁰⁰·10¹⁵⁰⁰ = 10¹⁷⁰⁰.
  Припишем к этому числу справа несколько нулей, затем цифру 1 и еще три нуля так, чтобы общее количество цифр равнялось 1997.
  Как было замечено, если в полученном числе не менять последнюю цифру, то число будет чётным. Если изменить последние три нуля на чётное число, то число останется чётным. Если же изменить последние три нуля на нечётное число abc, то последние четыре цифры образуют число 1abc, на которое делится построенное число, ибо 1abc входит в произведение нечётных чисел от 1001 до 1999.

Ответ

б) Существует.

Замечания

Ср. с задачей 34990.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	8
задача
Номер	4