Задача 107830

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Ковальджи А.К.

По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют n поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B и C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Лёша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

Решение

  Для ясности будем считать поезда и станции точками.
  Понятно, что если n кратно 3, то Лёша и Ира всегда уезжают одновременно. Значит, в этом случае лес отсутствует.
  Пусть n не кратно 3. Тогда, когда бы они ни пришли на станцию, либо Ира уедет раньше Лёши, либо – Лёша раньше Иры.
  Обозначим расстояние между соседними поездами через l. Если в некоторой точке X лес, то в точке Y, находящейся от неё на расстоянии, кратном l, тоже лес. Действительно, если Ира входит на станцию, когда Рома находится в точке X, то она уедет первой. Но когда Рома находится в точке Y, расположение поездов такое же, как когда он находится в точке X, так что в этом случае Ира тоже уедет первой, поэтому в точке Y тоже лес.
  Итак, "структура" леса периодическая, поэтому достаточно определить расположение леса на интервале длины l.   Рассмотрим момент, когда некоторый поезд отходит от станции B (см. рис.).

  Пусть поезд, на который сядет Ира (то есть ближайший против направления движения к станции A поезд), в этот момент находится на расстоянии x от A. Тогда весь интервал между этим поездом и точкой A покрыт лесом. Действительно, если машинист Рома находится на этом интервале, то он увезёт Иру, потому что Лёша "упустил" свой поезд (строго говоря, это следует из того, что  x < l).   Интервал длины  l – x,  следующий за A по направлению движения, лесом не покрыт. Действительно, когда поезд придёт на станцию A, то ближайший к B против направления движения поезд будет на расстоянии  l – x. Так что если Рома находится на указанном интервале длины  l – x,  то Лёша сядет в поезд первым, так как Ира "упустила" поезд, который ведет Рома.
  Итак, на участке длины l леса – x, а поля –  l – x.  Так как структура леса периодическая, то и на всей дороге количество леса относится к количеству поля как x к  l – x.
  Осталось найти x. Длина окружности равна nl, значит, длина большей дуги BA равна  ⅔ nl. Ясно, что величина x равна остатку от деления длины дуги BA на l. Значит, если  n ≡ 1 (mod 3),  то  x = ^2l/₃,  то есть доля леса составляет ⅔.
  Аналогично если  n ≡ 2 (mod 3),  то  x = ^l/₃,  то есть доля леса составляет ⅓.

Ответ

Если n кратно 3, леса нет, в остальных случаях  1 – {ⁿ/₃}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	9
задача
Номер	4