|
|
 |
Условие
Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?Решение
Отметив середины ребер правильного тетраэдра, мы легко получаем разбиение правильного тетраэдра на правильный октаэдр и 4 правильных тетраэдра. Иными словами, маленькие тетраэдры получаются из большого гомотетиями с коэффициентом 1/2 и центрами в вершинах большого тетраэдра (рис., а).
а)
б)
Чуть сложнее понять, как разбить правильный октаэдр. Как и в случае с тетраэдром, подвергнем октаэдр гомотетии с коэффициентом 1/2 и центром в вершине октаэдра. Рассмотрев все 6 вершин октаэдра, получим 6 маленьких октаэдров и, вырезав их из большого октаэдра, увидим, что осталось 8 правильных тетраэдров, примыкающих к граням большого октаэдра. Одна из вершин каждого из таких тетраэдров — центр исходного октаэдра, остальные вершины являются серединами его ребер (рис., б).
После первого шага (на первом шаге разбивается только тетраэдр) получим октаэдр и тетраэдры с длинами ребер, равными 1/2, после второго шага (разбиваем 4 тетраэдра и октаэдр) получатся октаэдры и тетраэдры с длинами ребер 1/4 и т. д. После 7-го шага ребра тетраэдров и октаэдров будут равны 1/128 < 1/100.
