Информация о задаче

Задача 107859

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Покрытия	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Агеев С.М.

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

Решение

Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные n-м и (n + 2)-м фонарями, пересекаются (хотя бы по одной точке), то (n + 1)-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Если бы фонарей было хотя бы 1999, то фонарей с нечетными номерами было бы не менее 1000. Значит, фонарей не больше 1998.

Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен ${\frac{1}{2}}$ м, а 1998-й равен 999 ${\frac{1}{2}}$ м. (Разность этой прогрессии равна ${\frac{999}{1997}}$ .) Расстояние между n-м и (n + 2)-м фонарем равно ${\frac{1998}{1997}}$ . Значит, между отрезками, освещенными этими фонарями, имеется зазор в ${\frac{1}{1997}}$ м. Его освещает только (n + 1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	10
задача
Номер	3