Задача 107866

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Деление с остатком ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Сендеров В.А., Эвнин А.Ю.

Решите в натуральных числах уравнение  3^x + 4^y = 5^z.

Решение

  Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, то есть 1. Поэтому z чётно. Левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому x тоже чётно. Итак,   4^y = 5^z – 3^x = 5^2v – 3^2u,  то есть  2^2y = (5^v – 3^u)(5^v + 3^u).  Поэтому  5^v – 3^u = 2^k  и  5^v + 3^u = 2^l,  где k и l – целые неотрицательные числа и  k + l = 2y.  Таким образом,  5^v = ½ (2^k + 2^l) = 2^k–1 + 2^l–1  и  3^u = 2^l–1 – 2^k–1.
  Значит, число  2^l–1 – 2^k–1  нечётно, поэтому  k = 1,  2^k = 2  и  3^u = 2^l–1 – 1.  Следовательно,  l – 1 = 2s  (иначе левая часть не делится на 3). Тогда
3^u = (2^s – 1)(2^s + 1)  – произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Ясно, что эти множители – 1 и 3, то есть
s = 1,  l = 3.  Отсюда  x = y = z = 2.

Ответ

(2, 2, 2).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	11
задача
Номер	4