Задача 107977

Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Кукушкин Б.Н.

Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения:
  а)  x + S(x) + S(S(x)) = 1993;
  б)  x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993.

Решение

  а) Согласно признаку делимости на 3, числа x и S(x) дают одинаковые остатки от деления на 3. Такой же остаток будет и у числа S(S(x)). Значит, сумма
x + S(x) + S(S(x))  делится на 3 (так как это сумма трёх чисел с одинаковыми остатками от деления на 3). Однако, 1993 на 3 не делится, поэтому решений нет.

  б) Ясно, что  x < 1993.  Нетрудно видеть, что среди чисел, меньших 1993, наибольшую сумму цифр 27 имеют числа 1989 и 999. Значит,  S(x) ≤ 27.  Далее,
S(S(x)) ≤ S(19) = 10.  Наконец,   S(S(S(x))) ≤ 9.  Из уравнения следует, что  x = 1993 – S(x) – S(S(x)) – S(S(S(x))) ≥ 1993 – 27 – 10 – 9 = 1947.
  Аналогично а) все числа x, S(x), S(S(x)), S(S(S(x))) дают одинаковые остатки при делении на 9, а 1993 дает остаток 4, поэтому  x ≡ 1 (mod 9). Среди чисел от 1947 до 1993 остаток 1 при делении на 9 дают 1954, 1963, 1972, 1981, 1990. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1963.

Ответ

а) Нет решений;  б)  x = 1963.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	56
Год	1993
вариант
Класс	8
задача
Номер	1