Задача 108406

Темы:    [ Инварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

На доске написаны числа 1 и 2. Каждый день научный консультант Выбегалло заменяет два написанных числа на их среднее арифметическое и среднее гармоническое.
а) Однажды одним из написанных чисел (каким — неизвестно) оказалось 941664/665857. Каким в этот момент было другое число?
б) Будет ли когда-нибудь написано число 35/24?

Решение

а) 665857/470832: произведение написанных на доске чисел всегда равно 2.
б) Нет: среднее арифметическое каждый раз уменьшается, среднее гармоническое — увеличивается. Уже после второго шага среднее арифметическое будет равно 17/12 < 35/24, поэтому дальше 35/24 никогда не встретится.

Ответ

а) 665857/470832; б) нет.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Название	Странные игры
Тема	Теория игр
Номер	19
задача
Номер	5