Задача 108597

Темы:    [ Геометрические неравенства ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В угол с вершиной C вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках A и B . Отрезок расположен внутри невыпуклого криволинейного треугольника ABC , где AB – меньшая дуга окружности. Докажите, что длина этого отрезка меньше длины отрезка AC .

Решение

Пусть d – указанный отрезок.Продолжим его до сторон криволинейного треугольника ABC . Если новый отрезок меньше AC , то и d был меньше AC . Будем считать, что с самого начала концы отрезка d лежали на сторонах криволинейного треугольника. Возможны два случая: 1) оба конца отрезка d лежат на сторонах AC и BC (рис.1). 2) один из концов на меньшей дуге AB (рис.2, рис.3). В первом из этих случаев рассмотрим отрезок прямой MN , параллельной отрезку d и касающейся данной окружности. Пусть точки M и N лежат на отрезках BC и AC соответственно, а прямая MN касается окружности в точке K . Обозначим угловые меры меньших дуг AB , AK и BK через 2γ , 2α и 2β соответственно. Тогда, если r – радиус окружности, то

BC=AC=r tg γ, NK=r tg α, MK = r tg β.
Углы α , β , γ заключены между 0 и , причём γ = α+β , Следовательно,
MN = NK+MK = r tg α+r tg β = r( tg α+ tg β) =r· (1- tg α tg β) tg (α + β)<

< r· tg (α + β)=r tg γ = AC.
Рассмотрим второй случай. Пусть конец N отрезка MN лежит на дуге AB , а M – на отрезке BC . Будем перемещать прямую MN параллельно самой себе так, чтобы точка N оставалась на дуге AB . Это перемещение закончится одним из двух способов: либо (рис.1) точка N станет точкой касания (тогда, продолжив отрезок MN за точку N , сведём задачу к уже рассмотренному первому случаю), либо конец M совпадёт с точкой C (рис.3). Тогда продолжим полученный отрезок CN за точку N до пересечения с хордой AB в точке P . Один из углов CPA и CPB не меньше, чем . Значит, в одном из треугольников CPA или CPB этот угол наибольший. Против него лежит наибольшая сторона треугольника, а т.к. AC=BC , то CP < BC . Следовательно, MN.