Задача 108749

Темы:    [ Периметр треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

Решение

Пусть ABC – искомый треугольник (см. рис.):  CA = CB,  периметр прямоугольника EFGH равен периметру прямоугольника E₁F₁G₁H₁. Если рассмотрим отрезки, из которых состоят периметры вписанных в равнобедренный треугольник прямоугольников, то заметим, что для равенства периметров необходимо, чтобы отрезок F₁K был равен сумме отрезков FK и EE₁ или 2FK (так как  FK = EE₁).  Отсюда следует, что построение сводится к построению равнобедренного треугольника, у которого высота равна основанию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 7.1
олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 8.3