|
|
 |
Условие
Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество всех таких
точек D, что треугольники ABD и BCD - равнобедренные
(отрезки AB и BC могут служить как основаниями, так и боковыми
сторонами).
Решение
Множество всех вершин равнобедренных треугольников с основанием AB
есть ось симметрии отрезка AB, множество вершин равнобедренных
треугольников с основанием BC есть ось симметрии отрезка BC.
Точка пересечения этих двух осей (рис.) даст первую искомую точку
D1. Но стороны AB и BC могут быть и боковыми сторонами
искомых равнобедренных треугольников с общей вершиной D. Если
вершиной равнобедренных треугольников ABD будет точка A, то
множеством точек D будет окружность радиуса AB с центром в точке
A. Точки пересечения этой окружности с осью симметрии отрезка CB
и окружностью с центром в точке C и радиуса BC дадут
соответственно ещё точки D2,D3 и D4. Рассматривая
равнобедренные треугольники BCD с вершиной C, найдём на
окружности с центром в точке C и радиуса CB в пересечении с осью
симметрии отрезка AB ещё две искомые точки D5 и D6. Наконец,
множеством точек D, являющихся общими вершинами равнобедренных
треугольников ABD и CBD с вершиной B, будет окружность с
центром в точке B радиуса BC (или, что то же самое, радиуса
BA). Таким образом, искомое множество точек состоит из указанной
окружности и шести отдельных точек. При этом из точек окружности
исключаются вершины треугольника A и C и точки пересечения её с
продолжением сторон AB (F) и BC (E).
