Задача 108750

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество всех таких точек D, что треугольники ABD и BCD - равнобедренные (отрезки AB и BC могут служить как основаниями, так и боковыми сторонами).

Решение

Множество всех вершин равнобедренных треугольников с основанием AB есть ось симметрии отрезка AB, множество вершин равнобедренных треугольников с основанием BC есть ось симметрии отрезка BC. Точка пересечения этих двух осей (рис.) даст первую искомую точку D₁. Но стороны AB и BC могут быть и боковыми сторонами искомых равнобедренных треугольников с общей вершиной D. Если вершиной равнобедренных треугольников ABD будет точка A, то множеством точек D будет окружность радиуса AB с центром в точке A. Точки пересечения этой окружности с осью симметрии отрезка CB и окружностью с центром в точке C и радиуса BC дадут соответственно ещё точки D₂,D₃ и D₄. Рассматривая равнобедренные треугольники BCD с вершиной C, найдём на окружности с центром в точке C и радиуса CB в пересечении с осью симметрии отрезка AB ещё две искомые точки D₅ и D₆. Наконец, множеством точек D, являющихся общими вершинами равнобедренных треугольников ABD и CBD с вершиной B, будет окружность с центром в точке B радиуса BC (или, что то же самое, радиуса BA). Таким образом, искомое множество точек состоит из указанной окружности и шести отдельных точек. При этом из точек окружности исключаются вершины треугольника A и C и точки пересечения её с продолжением сторон AB (F) и BC (E).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер	17
Название	17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1967
Задача
Название	Задача 8.2