Задача 108962

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Неравенства для площади треугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Лист железа треугольной формы весит 900 г.
Доказать, что любая прямая, проходящая через его центр тяжести, делит треугольник на части, каждая из которых весит не менее 400 г.

Решение

  Можно считать, что площадь фигуры численно равна её весу. Проведём через центр тяжести треугольника ABC прямую A₁C₁, параллельную основанию AC (см. рис.). Как известно, медиана разбивается центром тяжести в отношении  1 : 2.  Следовательно, треугольник A₁BC₁, подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия ⅔. Значит,   S_A1BC1 = 400.
  Пусть KL – некоторая другая прямая, проходящая через центр тяжести O треугольника. Площадь треугольника KBL может быть получена из площади треугольника A₁BC₁ заменой площади треугольника C₁OL площадью треугольника A₁KO. Легко видеть, что последняя площадь больше. Проведём
C₁M || AB  и продолжим OL до пересечения с C₁M в точке M. Треугольник OMC₁ равен треугольнику A₁OK (по стороне и двум углам), а треугольник OC₁L составляет лишь его часть. Аналогичное построение можно провести для любого другого треугольника. Кроме того, ясно, что на долю второй части данного треугольника остаётся тоже не менее 400: поворачивая прямую KL вокруг точки O, мы будем получать треугольники до тех пор, пока прямая KL не совпадёт с одной из медиан AO или OC. Тогда площадь треугольника будет наибольшей и равной половине площади данного треугольника, то есть 450. Значит, оставшаяся часть будет не менее 450.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
задача
Название	Задача 10.1