ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108971
Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус ra вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.


Решение

  Пусть O и O1 – центры вписанной и вневписанной окружностей.

  Первый способ. Пусть OEACO1E1ACOE = rO1E1 = 2r,  AB = c,  AC = b,  BC = 1,  (см. рис.). Как известно (см. задачи 55483 и 55404),
EE1 = BC = 1,  AE1 = p,  AE = p – 1.  Из подобия треугольников AO1E1 и AOE имеем:  2r : r = p : (p – 1),  откуда  p = 2,  SABC = pr = 2r.

  Второй способ. ½ (b + c + 1)r = SABC = SABO1 + S ACO1SBCO1 = ½ (b + c – 1)ra = (b + c – 1)r.  Отсюда  b + c = 3,  SABC = 2r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1961
Номер 11
Название 11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .