Задача 108975

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Логарифмические уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Решить уравнение 2-log _{sin x} cos x=log _{cos x} sin x.

Решение

Для начала выпишем ОДЗ данного уравнения: sin x>0, cos x>0 . Приведем логарифм в правой части к основанию sin x : 2-log _{sin x} cos x=1/log _{sin x} cos x . После преобразований получим:

(log _{sin x} cos x-1)²=0 или log _{sin x} cos x=1.
После потенцирования будем иметь:
cos x= sin x, x=π/4+kπ.
Среди полученных значений ОДЗ удовлетворяют только решения вида x=π/4+2kπ, k .

Ответ

x=π/4+2kπ, k .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.4