Задача 108976

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Найти равнобедренные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.

Решение

Пусть трапеция ABCD диагональю AC разбивается на два равнобедренных треугольника, причём  AB = CD.  Легко видеть, что равными сторонами равнобедренных треугольников должны быть:  AB = BC  и  AC = AD  (см. рис.).  ∠BAC = ∠ACB  (как углы при основании равнобедренного треугольника), а  ∠BCA = ∠CAD  (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Следовательно,  ∠BAC = ∠CAD,  то есть диагональ AC является биссектрисой угла при основании трапеции. Обозначим  ∠ACD = ∠ADC = α.  Тогда  ∠CAD = ∠BAC = 180° – 2α.  С другой стороны,  ∠CAD = ^α/₂,  то есть  180° – 2α = ^α/₂.  Отсюда  α = 72°.

Ответ

Искомые равнобедренные трапеции имеют при основании угол 72°, и их диагонали являются биссектрисами углов при этом основании.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 7.2