Задача 108983

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найти углы треугольника, если известно, что все вписанные в него квадраты равны (каждый из квадратов вписан так, что две его вершины лежат на одной из сторон треугольника, а остальные вершины на двух других сторонах треугольника).

Решение

  Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а опущенные на них высоты – h_a, h_b и h_c. Согласно задаче 53756 стороны вписанных квадратов равны  ^ah_a/_a+ha,  ^bh_b/_b+hb,  ^ch_c/_c+hc.  По условию эти числа равны.
  Числители полученных дробей равны между собой (это удвоенная площадь треугольника). Следовательно, равны и знаменатели:
a + h_a = b + h_b = c + h_c.  Но поскольку  ah_a = bh_a = ch_a,  три пары чисел, выражающих сторону и опущенную на неё высоту данного треугольника, должны удовлетворять одному и тому же квадратному уравнению. В силу единственности пары решений квадратного уравнения эти три пары совпадают, откуда следует, что треугольник ABC – равносторонний (учитывая, что наименьшая высота меньше наименьшей стороны).

Ответ

Все углы равны 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 8.4