Задача 109005

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Может ли число  1·2 + 2·3 + ... + k(k + 1)  при  k = 6p – 1  быть квадратом?

Решение

Данную сумму можно представить в виде
    (1² + 1) + (2² + 2) + ... + (k² + k) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (1² + 2² + ... + k²) = ½ (k(k + 1)) + ⅙ (k(k + 1)(2k + 1)) = ⅓ (k(k + 1)(k + 2)) = 2p(36p² – 1).
Но числа 2p и  36p² – 1  взаимно просты, а второе из них квадратом быть не может.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 10.3