Задача 109006

Тема:    [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Стороны треугольника a,b и c . A=60^o . Доказать, что

3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c).

Решение

Преобразуем данное выражение:

3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c),

3(a+b)(a+c)=(a+b+c)(2a+b+c),

3a²+3ac+3ab+3bc=(a+b+c)²+a(a+b+c),

a²+bc=b²+c².
Итак, доказываемое равенство равносильно следующему: a²=b²+c²-bc . Но это же соотношение получается, если применим теорему косинусов для угла в 60^o : cos A= cos 60^o=1/2, a²=b²+c²-2bc cos A . Учащиеся, не знакомые с теоремой косинусов, могут получить этот результат с помощью теоремы Пифагора, разбив треугольник на два прямоугольных треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 11.1