Задача 109011

Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Найти решение системы
  x⁴ + y⁴ = 17,
  x + y = 3.

Решение

  Пусть  xy = u.  Тогда  x² + y² = 9 – 2u,  (9 – 2u)² – 2ux² = x⁴ + y⁴ = 17.  Отсюда  u² – 18u + 32 = 0,  то есть  u = 2 или 16.
  Система  x + y = 3,  xy = 2  имеет очевидное решение  {1, 2},  а система  x + y = 3,  xy = 16  решений не имеет.

Ответ

{1, 2}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 8.7