Задача 109018

Темы:    [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более 720^o .

Решение

Если три дуги покрывают некоторую часть окружности так, что все они имеют общую часть, то из них всегда можно выбрать две такие, которые покроют ту же часть окружности. Поэтому можно выбросить лишние дуги так, что каждая часть окружности будет покрыта не более чем два раза, а сумма покрывающих дуг будет не более 720^o .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 10.3