Задача 109019

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Из таблицы

выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

Решение

Представим нашу таблицу как сумму двух таблиц:

Выбранные числа также "распадутся" в суммы соответствующих чисел в этих двух таблицах. При этом в первой таблице сумма соответствующих чисел равна  0 + a + 2a + ... +(a – 1)a = ½ a²(a – 1)  (так как числа расположены по одному в каждой строке), а во второй –  1 + 2 + ... + a = ½ a(a + 1)  (так как числа расположены по одному в каждом столбце). Общая же сумма равна  ½ a²(a – 1) + ½ a(a + 1) = ½ a(a² + 1).

Ответ

½ a(a² + 1).

Замечания

Ср. с задачей 97957.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 10.4