ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109031
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.


Решение

  Рассмотрим сначала случай, когда треугольник ABC прямоугольный и в него вписан прямоугольник DEFC так, что одна вершина прямоугольника совпадает с вершиной прямого угла треугольника, две другие вершины лежат на катетах и четвёртая – на гипотенузе (см. рис.). Обозначим  AC = b,
BC = a,  CD = EF = b
1DE = CF = a1.  Из подобия треугольников ADE и ACB имеем  DA : AC = ED : BC,  или  (b – b1) : b = a1 : a,  откуда  b1 = (a–a1)b/a.  Площадь прямоугольника равна  a1b1 = a1b(a–a1)/ab/a(a/2)² = ¼ ab = ½ SABC.

  В общем случае опустим из вершины B треугольника ABC, противоположной той, на которой лежат две вершины прямоугольника, высоту BH. Получим два прямоугольных треугольника, в которые вписаны прямоугольники, как и в предыдущем случае. Поэтому удвоенная площадь прямоугольника не превосходит  SABH + SHBC = SABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1966
Название 16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер 16
Задача
Название Задача 8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .