Условие
Доказать, что существует линия длины
+1 , которую
нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади
S .
Решение
Докажем, что такой линией является полуокружность. Выпуклая фигура,
покрывающая полуокружность, должна содержать в себе полукруг,
ограниченный данной полуокружностью, иначе фигура не будет выпуклой.
Если возьмем полуокружность длиной
, то площадь
соответствующего полукруга будет
S . Действительно, площадь
полукруга равна
π r2/2 , длина полуокружности
=π r . Найдя из последнего равенства радиус данной
полуокружности и подставив значение
r2=2S/π в формулу
для площади полукруга, получим наше утверждение. Таким образом,
чтобы покрыть полуокружность большей длины, чем
+1 ,
требуется фигура, имеющая площадь большую, чем
S .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Номер |
17 |
|
Название |
17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1967 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 10.1 |
