Задача 109035

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Доказать, что существует линия длины +1 , которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади S .

Решение

Докажем, что такой линией является полуокружность. Выпуклая фигура, покрывающая полуокружность, должна содержать в себе полукруг, ограниченный данной полуокружностью, иначе фигура не будет выпуклой. Если возьмем полуокружность длиной , то площадь соответствующего полукруга будет S . Действительно, площадь полукруга равна π r²/2 , длина полуокружности =π r . Найдя из последнего равенства радиус данной полуокружности и подставив значение r²=2S/π в формулу для площади полукруга, получим наше утверждение. Таким образом, чтобы покрыть полуокружность большей длины, чем +1 , требуется фигура, имеющая площадь большую, чем S .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер	17
Название	17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1967
Задача
Название	Задача 10.1