Задача 109037

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.

Решение

Для доказательства соединим точку M с точкой C , а центр окружности O – с точками A₁ и B₁ (рис.). Нужно доказать, что A₁OB₁ – одна прямая. Треугольники AOA₁ и BOB₁ равнобедренные: OA₁=OA и OB₁=OB как радиусы одной окружности. Обозначим углы при их основаниях: OAA₁= OA₁A=α, OBB₁= OB₁B=β . Треугольники AMC и BMC тоже равнобедренные (по такой же причине), MAC= MCA= OAM- OAA₁=90^o-α, MCB= MBC=90^o-β , так как MAO= MBO=90^o как углы между касательными и радиусами, проведенными к точке касания; A₁CB₁= BCA как вертикальные; BCA= MCB+ MCA=90^o-β+90^o-α=180^o-(α+β) . Поэтому три угла фигуры A₁CB₁O в сумме дают 180^o . OB₁B+ OA₁A+ A₁CB₁=β+α+180^o-(α+β)=180^o . Следовательно, B₁OA₁ – одна прямая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер	17
Название	17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1967
Задача
Название	Задача 8.3