Условие
На продолжении наибольшей стороны
AC треугольника
ABC отложен
отрезок
|CD|=|BC| . Доказать, что
ABD тупой.
Решение
1-й способ. Пусть в треугольнике
ABC ,
AC>AB и
AC>BC;
CD=BC (рис.). Продолжим
BC за точку
C на расстояние
CE=BC и
отложим на стороне
AC по направлению к точке
A отрезок
CF=BC .
Точка
F окажется внутри отрезка
AC , так как
AC>BC . Соединив
точки
B,D,E и
F , получим прямоугольник
BDEF , ибо его диагонали
делятся в точке пересечения
C пополам и равны между собой.
FBD=90o, ABD= FBD+ ABF>90o .
2-й способ. Пусть
ABC> BAC и
ABC>
ACB .
CBD= BDC=1/2 BCA (так как
BC=CD ).
ABD= ABC+ CBD=
ABC+1/2 BCA .
ABC> BAC=180o-(
ABC+ BCA) , отсюда получим, что
2 ABC+
BCA>180o ,
ABC+1/2 BCA>90o , что и
требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Номер |
17 |
|
Название |
17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1967 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 9.1 |
