ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109039
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенства с углами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC отложен отрезок |CD|=|BC| . Доказать, что ABD тупой.

Решение

1-й способ. Пусть в треугольнике ABC , AC>AB и AC>BC; CD=BC (рис.). Продолжим BC за точку C на расстояние CE=BC и отложим на стороне AC по направлению к точке A отрезок CF=BC . Точка F окажется внутри отрезка AC , так как AC>BC . Соединив точки B,D,E и F , получим прямоугольник BDEF , ибо его диагонали делятся в точке пересечения C пополам и равны между собой. FBD=90o, ABD= FBD+ ABF>90o . 2-й способ. Пусть ABC> BAC и ABC> ACB . CBD= BDC=1/2 BCA (так как BC=CD ). ABD= ABC+ CBD= ABC+1/2 BCA . ABC> BAC=180o-( ABC+ BCA) , отсюда получим, что 2 ABC+ BCA>180o , ABC+1/2 BCA>90o , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер 17
Название 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1967
Задача
Название Задача 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .