Условие
На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC отложен
отрезок |CD|=|BC| . Доказать, что 
ABD тупой.
Решение
1-й способ. Пусть в треугольнике ABC , AC>AB и AC>BC;
CD=BC (рис.). Продолжим BC за точку C на расстояние CE=BC и
отложим на стороне AC по направлению к точке A отрезок CF=BC .
Точка F окажется внутри отрезка AC , так как AC>BC . Соединив
точки B,D,E и F , получим прямоугольник BDEF , ибо его диагонали
делятся в точке пересечения C пополам и равны между собой.
FBD=90o, ABD= FBD+ ABF>90o .
2-й способ. Пусть ABC> BAC и ABC>
ACB . CBD= BDC=1/2 BCA (так как
BC=CD ). ABD= ABC+ CBD=
ABC+1/2 BCA . ABC> BAC=180o-(
ABC+ BCA) , отсюда получим, что 2 ABC+
BCA>180o , ABC+1/2 BCA>90o , что и
требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Номер |
17 |
|
Название |
17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1967 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 9.1 |
