Задача 109144

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Решить уравнение  x² + 3x + 9 = 9n²  в целых числах.

Решение

  Решим уравнение относительно x:  
  Необходимо, чтобы подкоренное выражение было полным квадратом:  4n² – 3 = k²,  4n² – k² = 3,  (2n – k)(2n + k) = 3.  Достаточно рассмотреть случай, когда n и k неотрицательны. Тогда  2n – k = 1,  2n + k = 3,  4n = 4.
  Итак,  n = ± 1,  x = 0  или   x = –3.

Ответ

(0, ±1),  (–3, ±1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 10.4