Условие
Ребро правильного тетраэдра равно
a . Найти стороны и площадь
сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего
от центра тетраэдра на расстояние
b , причём
0
<b<a
/4
.
Решение
Секущая плоскость
PEFK параллельна прямой
SC , а потому
пересекается с гранями, в которых лежит ребро
SC , по прямым,
параллельным ребру
SC :
EF||SC, PK||SC (рис.). По аналогичной
причине секущая плоскость пересекается с гранями, содержащими ребро
AB , по прямым, параллельным этому ребру:
PE||AB, KF||AB . Таким
образом, в сечении получается параллелограмм. Поскольку же
непересекающиеся ребра в правильном тетраэдре взаимно
перпендикулярны (
AB
SC ), то в сечении получается прямоугольник
PEFK . Проведем
SM пл.
ABC . Плоскость
SCM перпендикулярна
к плоскости основания;
AB пл.
SCD . Поэтому
KF пл.
SCD , так как
KF||AB .
Далее пл.
SCD пл.
PEFK , в которой лежит прямая,
перпендикулярная к первой плоскости. Эти плоскости пересекаются по
прямой
NT||SC ; проведём
DJ SC ,
DJ пл.
PEFK , так как
DJ KF и
DJ NT, KF||AB, NT||SC .
O – центр тетраэдра,
так как это точка пересечения высоты тетраэдра
SM со срединным
перпендикуляром ребра
SC (или с биссектрисой угла
SDC ).
OL=b ,
где
L – точка пересечения
DJ с плоскостью сечения.
DC=SD=a
/2
, MC=a/3
,
SM=a
/3
(из треугольника
MCS ). Из равнобедренного
треугольника
SDC находим
DJ=a/2
. Из подобия
треугольников
MSC и
JSO найдем
OJ:
SJ/OJ=MS/MC , откуда
OJ=a/4
.
Отсюда
LJ=OJ-OL=a/4
-b ,
DL=DJ-LJ=a/2
-(
a/4
-b)
=(a+4
b)/4
.
Теперь можем определить высоту прямоугольника
NT из подобия
треугольников
SCD и
NTD :
NT/SC=DL/DJ,
NT=(a+2
b)/2
. Основание прямоугольника
PEFK
определим из подобия треугольников
ABC и
KFC , для чего сначала
найдем
TC=DC-DT .
DT определяется из прямоугольного треугольника
DLT :
DT=
,; LT=NT/2,;
DT=((a+2b))/4,
TC=((a-2b))/4, KF=(a-2b)/2.
Площадь прямоугольника равна
NT· KF=(a2-8
b2)/4
.
Ответ
сечение – прямоугольник со сторонами
(a+2
b)/2
, (a-2
b)/2
и площадью
(a2-8
b2)/4
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Год |
1962 |
|
Номер |
12 |
|
Название |
12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
неизвестно |
|
Название |
Задача 10.1 |
