Задача 109156

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде периметры всех её граней равны. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды, если площадь одной её грани равна S .

Решение

Допустим, что известна площадь грани ABC=S (рис.). Запишем, что периметры всех граней равны:

AK+KB+AB=AB+AC+CB, (1)

AK+KC+AC=KC+CB+KB, (2)

AK+KB+AB=KB+BC+KC. (3)
Сложив равенства (1) и (2) почленно, найдем, что AK=BC . Подставив вместо AK в равенство (3) BC , найдем, что AB=KC . Затем из (1) AC=KB . Отсюда легко получается, что все грани тетраэдра равны между собой, а площадь его поверхности равна 4S .

Ответ

4S .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 11.4