Задача 109160

Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Доказать, что

A= sin²(α+β)+ sin²(β-α)-2 sin(α+β) sin(β-α) cos 2α
не зависит от β .

Решение

Применим формулу, выражающую квадраты синусов через косинусы двойного аргумента:

A=(1- cos 2(α+β))/2+(1- cos 2(β-α))/2-2 sin(α+β) sin(β-α) cos 2α.
Применим формулу суммы косинусов и преобразования произведения синусов в сумму косинусов:
A=1-1/2 2 cos 2α cos 2β- cos²2α+ cos 2β cos 2α=1- cos² 2α.
Получили выражение, не зависящее от β .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 9.5