Задача 109166

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Замена переменных ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Решить уравнение  (x² – x + 1)⁴ – 10x²(x² – x + 1)² + 9x⁴ = 0.

Решение

  Пусть  y = (x² – x + 1)²,  тогда  y² – 10x²y + 9x⁴ = 0.  Решив это уравнение относительно y, получим:  y₁ = 9x²,  y₂ = x².
  Итак, данное уравнение свелось к двум следующим:  (x² – x + 1)² = 9x²  и  (x² – x + 1)² = x²,  то есть к четырём квадратным уравнениям:
x² – x + 1 = 3x,  x² – x + 1 = – 3x,  x² – x + 1 = x,  x² – x + 1 = – x.

Ответ

–1, 1,  2 – ,   2 + .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
неизвестно
Название	Задача 11.5