Задача 109168

Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Доказать, что сумма cos α+ cos(72^o+α)+ cos(144^o+α)+ cos(216^o+α)+ cos(288^o+α) не зависит от α .

Решение

Применим формулу для суммы косинусов:

cosα+( cos(72^o+α)+ cos(288^o+α))+( cos(144⁰+α)+ cos(216^o+α))=

= cosα+2 cos(180^o+α) cos 108^o+2 cos(180^o+α) cos 36^o=

= cosα+2 cosα cos 72^o-2 cosα cos 36^o= cosα(1+2( cos 72^o- cos 36^o))=

= cosα(1-2 sin 54^o sin 18^o)= cosα(1-4 cos 36^o sin 18^o)=

= cosα(1-4 cos 36^o sin 18^o cos 18^o/ cos 18^o)= cosα(1-2 cos 36^o sin 36^o/ cos 18^o)=

= cosα(1- sin 72^o/ cos 18^o)=0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
неизвестно
Название	Задача 10.5