Условие
Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что
сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.
Решение
Пусть
AM=MS, SN=NC, SP=PB, AK=KB, BL=LC, AR=RC (рис.). Покажем,
что все три отрезка
ML,KN,PR пересекутся в одной точке. Например,
покажем, что
KN с
ML пересекаются и делят в точке пересечения
друг друга пополам. Это вытекает из того, что
MNLK –
параллелограмм. В этом легко убедиться, заметив, что
KL –
средняя линия в треугольнике
ABC ,
MN – средняя линия в
треугольнике
ASC , обе они параллельны
AC и равны ее половине.
Аналогично можно показать, что, например,
PR и
ML пересекаются и
делятся в точке пересечения пополам, из чего следует, что все три
отрезка пересекаются в одной точке. Из треугольника
KLN получаем,
что
KN<KL+LN=(SB+AC)/2
. Из треугольника
PML:
ML<MP+PL=(AB+SC)/2
. Из треугольника
PKR:
PR<KP+KR=(AS+BC)/2
. Сложив почленно полученные неравенства,
получим требуемое.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Номер |
17 |
|
Название |
17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1967 |
|
неизвестно |
|
Название |
Задача 10.3 |
