|
|
 |
Условие
Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что
сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.
Решение
Пусть AM=MS, SN=NC, SP=PB, AK=KB, BL=LC, AR=RC (рис.). Покажем, что все три отрезка ML,KN,PR пересекутся в одной точке. Например, покажем, что KN с ML пересекаются и делят в точке пересечения друг друга пополам. Это вытекает из того, что MNLK – параллелограмм. В этом легко убедиться, заметив, что KL – средняя линия в треугольнике ABC , MN – средняя линия в треугольнике ASC , обе они параллельны AC и равны ее половине. Аналогично можно показать, что, например, PR и ML пересекаются и делятся в точке пересечения пополам, из чего следует, что все три отрезка пересекаются в одной точке. Из треугольника KLN получаем, что KN<KL+LN=(SB+AC)/2 . Из треугольника PML: ML<MP+PL=(AB+SC)/2 . Из треугольника PKR: PR<KP+KR=(AS+BC)/2 . Сложив почленно полученные неравенства, получим требуемое.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Белорусские республиканские математические олимпиады |
| олимпиада | |
| Номер | 17 |
| Название | 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
| Год | 1967 |
| неизвестно | |
| Название | Задача 10.3 |
