Задача 109177
|
|
 |
Условие
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений
a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0
имеет решение.
Решение
Преобразуем первое уравнение, введя вспомогательный угол:
sin(x + ϕ) + c = 0. Это уравнение не имеет решений, если |c| >
, то есть если c² > a² + b².
Второе уравнение заменой t = tg x сводится к квадратному 2at² + 2ct + b = 0, которое не имеет решений, если c² – 2ab < 0. (Корень
t = 0 может оказаться посторонним, но он является единственным корнем только при b = c = 0, а в этом случае первое уравнение имеет решение.) Но в силу неравенства Коши условия c² > a² + b² и c² < 2ab не могут выполняться одновременно.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Белорусские республиканские математические олимпиады |
| олимпиада | |
| Номер | 17 |
| Название | 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
| Год | 1967 |
| неизвестно | |
| Название | Задача 10.4 |
