Задача 109180

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

Решение

  Пусть a – сторона квадрата, а стороны прямоугольника – k и l. Отношение их периметров  ^2(k+l)/_4a.  При этом  a² = kl,  ^2(k+l)/_4a = ^a²+k²/_2ak = ½ (^a/_k + ^k/_a).
  Пусть это число – целое. При этом  ^a/_k = x  – рациональное число. Тогда  x + ¹/_x – чётное число 2n.  x + ¹/_x = 2n,  x² – 2nx + 1 = 0, 
  Если x рационально, то число    – целое. Итак, x и ¹ /_x = 2n – x  – целые. Но единственное целое, обратное целому, равно 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 8.1