Задача 109184

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Найти наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее следующим условиям:
  а) его запись оканчивается цифрой 6;
  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Решение 1

  Искомое число запишем в виде  A = x₁...x_k6.  Тогда  4A = 6x₁...x_k.  Для определения цифр числа 4A будем последовательно умножать число A на 4:
6·4 = 24. Значит,  x_k = 4,  4x_k + 2 = 4·4 + 2 = 18;  x_k–1 = 8,  4x_k–1 + 1 = 4·8 + 1 = 33;  x_k–2 = 3,  4x_k–2 + 3 = 4·3 + 3 = 15;  x_k–3 = 5,  4x_k–3 + 1 = 4·5 + 1 = 21;  x_k–4 = 1,  4x_k–4 + 2 = 4·1 + 2 = 6;  x_k–5 = 6.
  На этом процесс вычисления заканчивается, так как впереди будет стоять цифра 6:  4A = 615384,  A = 153846.

Решение 2

¹/₁₀ (A – 6) + 6·10^k = 4A,  или  39A = 6·10^k+1 – 6,  откуда  A = 59...94 : 39.  Число A находим непосредственным делением, снося девятку до тех пор, пока не получится остаток 23, так как 234 при делении на 39 даёт цифру 6.

Ответ

A = 153846.

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
неизвестно
Название	Задача 8.2