ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109192
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Обёрткой плоской картины размером 1×1 назовём прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Например, прямоугольник 2×1 и квадрат со стороной     – обёртки.
  а) Докажите, что есть и другие обёртки.
  б) Докажите, что обёрток бесконечно много.


Решение

  а) Процесс обёртывания прямоугольником     изображён на рисунке.

  б) Разделим вертикальные стороны квадрата на n частей. На рис. слева показана обёртка квадрата параллелограммом, меньшая сторона которого равна 2/n (изображён случай  n = 5).  На рис. в центре показано, как превратить параллелограмм в прямоугольник (при этом выступаюшие за горизонтальные стороны квадрата прямоугольные треугольники распадаются на две части). На рис. справа показано (для  n = 3)  как их надо загибать.

Замечания

1. При  n = 1  получается обёртка квадратом   ,   при  n = 2  – прямоугольником     (рис. слева и в центре), при  n = 3  – прямоугольником     (см. п. б), рис. справа).

2. Баллы: 4 + 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .