Задача 109440

Темы:    [ Смешанные уравнения и системы уравнений ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Решите уравнение:  (x³ – 2)(2^{sin x} – 1) + (2^x³ – 4) sin x = 0.

Решение

  Из того, что функция  y = 2^t  возрастает, следует:
    1) если  sin x > 0,  то  2^{sin x} – 1 > 0;  если   sin x < 0,  то 2^{sin x} – 1 < 0;
    2) если  x³ – 2 > 0,  то  2^x³ – 4 > 0;  если  x³ – 2 < 0,  то  2^x³ – 4 < 0.
  Следовательно, если  (x³ – 2)(2^{sin x} – 1) > 0,  то  (2^x³ – 4) sin x > 0;  если  (x³ – 2)(2^{sin x} – 1) < 0,  то  (2^x³ – 4) sin x < 0;  то есть знаки выражений
(x³ – 2)(2^{sin x} – 1)  и  (2^x³ – 4) sin x  совпадают. Поэтому, каждое слагаемое в левой части уравнения должно обращаться в нуль, то есть  x³ = 2  или  sin x = 0.

Ответ

,  πn (n ∈ Z).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	11
задача
Номер	6