Задача 109461

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE A= B= D=90^o . Найдите угол ADB , если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть O – центр окружности, вписанной в пятиугольник (см. рис. 9.6). Проведем перпендикуляры OK , OL , OM , ON и OT к сторонам AB , BC , CD , DE и EA соответственно. Так как проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT , KBLO и OMDN – равные квадраты.
Дальнейшее рассуждение можно провести двумя способами.
Первый способ. Диагонали OA , OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому O – центр окружности, описанной около треугольника ADB . Следовательно, ADB= AOB=45^o.
Второй способ. Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 180^o· 3=540^o . Следовательно, AED+ BCD=540^o - 270^o = 270^o. Из равенства сторон рассмотренных квадратов и свойства отрезков касательных (см. рис. 9.6) получим, что AE=ED и BC=CD . Следовательно, треугольники AED и BCD – равнобедренные. Тогда EDA= и CDB= . Следовательно, EDA+ CDB=180^o-=45^o . Таким образом, ADB=45^o.

Ответ

45^o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	9
задача
Номер	6