Задача 109522

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60^o . Докажите, что AC+BD1 .

Решение

Построим отрезок CB₁ так, что четырехугольник ABB₁C – параллелограмм, тогда AC=BB₁ . Из треугольника BB₁D получаем, что BB₁+BD B₁D и, следовательно, AC+BD B₁D . Остается заметить, что треугольник CB₁D равносторонний ( CD=CB₁=1 , а B₁CD= AOC=60^o ), и, значит, B₁D=1 . Таким образом, получаем AC+BD1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	93.5.9.2