Задача 109525

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

Решение

  Если числа x, y и z дают различные остатки при делении на 3, то число  (x – y)(y – z)(z – x) не делится на 3, а число  x + y + z,  наоборот, делится на 3. Следовательно, по крайней мере, два из трёх чисел x, y, z дают одинаковые остатки при делении на 3. Но тогда число  x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x)  делится на 3, а для этого необходимо, чтобы и третье число давало тот же остаток при делении на 3, что и первые два числа.
  Итак, числа x, y, z дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, число  x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x)  делится на 27.

Замечания

Отметим, что такие числа x, y, z существуют, например, 15, 18 и 21 или 50, 53 и 59.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	93.5.9.5
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	93.5.10.5
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.3.3