Задача 109529
|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.
Решение
Проверка показывает, что из чисел n = 1, 2, 3, 4, 5 подходит только n = 3.
Докажем, что при n ≥ 6 сумма цифр числа 5n меньше чем 2n. Действительно, число 5n не более чем n-значно, поэтому сумма его цифр не превосходит 9n. С другой стороны, 2n ≥ 9n.
В самом деле, при n = 6 оно верно, а при увеличении n на единицу правая часть этого неравенства увеличивается на 9, а левая
– не менее чем на 64.
Ответ
n = 3.
