|
|
 |
Условие
Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство
$\sin 2x + \cos x > 1$.
Решение 1
При $0< x < \pi/3$ имеем $2 \cos x > 2 \cos \pi/3 = 1$, откуда $\sin 2x = 2 \sin x \cos x > sin x$, то есть при $0< x < \pi/3$
$$\sin 2x + \cos x > \sin x + \cos x \ge \sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$
Решение 2
Используя тождества $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$, $\sin 2x = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \cos x$, приводим
неравенство к виду $2 \cos x > \operatorname{tg} \frac{x}{2}$. Полученное неравенство справедливо в силу того, что
$2 \cos x > 2 \cos\frac{\pi}{3} = 1$, $\operatorname{tg} \frac{x}{2} < \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} < 1$.
Решение 3
Заметим, что функции $\sin 2x$ и $\cos x$ выпуклы вверх на отрезке $[0,\pi/3]$. Значит, их сумма $f(x) = \sin 2x + \cos x$ также выпукла, поэтому график функции $f(x)$ на этом отрезке лежит не ниже прямой, соединяющей точки $(0, f(0))$ и $(\pi/3, f(\pi/3))$. Требуемое неравенство теперь следует из соотношений $f(0) = 1$ и $f(\pi/3) = 1/2 + \sqrt{3}/2 > 1$.
