Задача 109576
|
|
 |
Условие
В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек (m > n). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.
Решение
Занумеруем вершины n-угольника по часовой стрелке. Пусть из i-й вершины было сделано ai ходов. Из условия следует, что a1 = ½ (a2 + an), a2 = ½ (a1 + a3), ...,
an = ½ (an–1 + a1).
Это возможно только в случае a1 = a2 = ... = an (см. задачу 88317). Но тогда число сделанных ходов равно na1.
