ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109578
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A1 , B1 и C1 так, что плоскости A1B1C1 и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C1 . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A1B1C .

Решение

Спроектируем точку O на плоскость SBC . Полученная точка O1 – центр окружности, описанной около треугольника SBC1 . Пусть SS1 – ее диаметр. Докажем, что прямые SO1 и B1C перпендикулярны.




Действительно (рис),
SB1C+ B1SS1= SC1B+ BSS1=SB+BS1= · 180o=90o.

Аналогично, прямая A1C перпендикулярна проекции прямой SO на плоскость SAC 1172. По теореме о трех перпендикулярах SO A1C и SO B1C , следовательно, SO A1B1C , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 94.4.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .