Задача 109578

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Решение

Спроектируем точку O на плоскость SBC . Полученная точка O₁ – центр окружности, описанной около треугольника SBC₁ . Пусть SS₁ – ее диаметр. Докажем, что прямые SO₁ и B₁C перпендикулярны.

Действительно (рис),
SB₁C+ B₁SS₁= SC₁B+ BSS₁=SB+BS₁= · 180^o=90^o.
Аналогично, прямая A₁C перпендикулярна проекции прямой SO на плоскость SAC 1172. По теореме о трех перпендикулярах SO A₁C и SO B₁C , следовательно, SO A₁B₁C , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	94.4.11.7