Задача 109581

Темы:    [ Возвратные уравнения ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Уравнение  x² + ax + b = 0  имеет два различных действительных корня.
Докажите, что уравнение  x⁴ + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Решение

Пусть x₁ и x₂ – различные корни уравнения  x² + ax + b = 0.  Нетрудно проверить, что  x⁴ + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = (x² – x₁x – 1)(x² – x₂x – 1).  Остается показать, что корни уравнений  x² – x₁x – 1 = 0  и  x² – x₂x – 1 = 0  действительны и попарно различны. Дискриминанты обоих уравнений положительны. Если же x – общий корень этих уравнений, то  (x² – x₁x – 1) – (x² – x₂x – 1) = x(x₂ – x₁) = 0,  откуда  x = 0.  Но  x = 0  не является корнем.

Замечания

x⁴ + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = x²((x – ¹/_x)² + a(x – ¹/_x) + b),  откуда также ясно, что уравнение 4-й степени распадается на два квадратных:  x – ¹/_x = x₁  и
x – ¹/_x = x₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	94.4.10.2