|
|
 |
Условие
Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа p² + qs и p² + qr – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)
Решение
Сумма четырёх нечётных простых чисел – чётное число и больше 2. Значит, одно из наших простых чисел равно 2. Рассмотрим два случая.
1) p = 2. Заметим, что p² + 4 не может быть квадратом, поэтому одно из оставшихся чисел – 2, а остальные нечётны. Следовательно, одно из выражений p² + qs или p² + qr имеет вид (2k + 1)² + 2(2l + 1) = 4(k² + k + l) + 3, что невозможно, так как квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт в остатке 1.
2) p = 2. Пусть 4 + qs = a², тогда qs = (a – 2)(a + 2). Если a – 2 = 1, то qs = 5, что невозможно. Следовательно, q = a – 2, s = a + 2, или наоборот, то есть числа q и s отличаются на 4. Аналогично q и r отличаются на 4. Значит, либо s = q – 4, r = q + 4, либо r = q – 4, s = q + 4. Одно из чисел q – 4, q, q + 4 делится на 3, поэтому q – 4 = 3, то есть q = 7, а q + 4 = 11.
Ответ
(2, 7, 3, 11), (2, 7, 11, 3).
