ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109597
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.


Решение

Пусть  f(x) – данная функция. Покажем, как её можно представить в виде суммы функции  f1(x), график которой симметричен относительно прямой  x = 0  и функции  f2(x), график которой симметричен относительно прямой  x = a,  a > 0.  Значения функций  f1 и  f2 определим на отрезке  [–a, a],  затем последовательно на отрезках  [a, 3a],  [– 3a, – a],  [3a, 5a]  и т.д.
  На  [– a, a]  положим  f1(x) = 0  (можно взять и любую чётную на  [– a, a]  функцию, обращающуюся в нуль на концах этого отрезка), а
f2(x) = f(x) – f1(x) = f(x).  На отрезке  [a, 3a]  определим функцию  f2(x) так, чтобы на  [– a, 3a]  её график был симметричен относительно прямой  x = a,  то есть  f2(x) = f2(2a – x).  Такое определение функции  f2(x) корректно, так как если   x ∈ [a, 3a],  то  2a – x ∈ [– a, a].  Функцию  f1(x) на отрезке  [a, 3a]  определим равенством  f1(x) = f(x) – f2(x).  На отрезке  [– 3a, – a]  положим  f1(x) = f1(– x),  а  f2(x) = f(x) – f1(x),  на отрезке  [3a, 5a]  –   f2(x) = f2(2a – x),  а  f1(x) = f(x) – f2(x),  и т.д.

  На рисунке приведён пример такого представления для функции  f(x) = x:
    на  [–a, a]   f1(x) = 0,  f2(x) = x;
    на  [a, 3a]   f2(x) = 2a – xf1(x) = 2(x – a);
    на  [– 3a, – a]   f1(x) = – 2(x – a),  f2(x) = 3x + 2a;
    на  [3a, 5a]   f2(x) = 8a – 3x,  f1(x) = 4x – 8a;  и т.д.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .