|
|
 |
Условие
Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.
Решение
Пусть f(x) – данная функция. Покажем, как её можно представить в виде суммы функции f1(x), график которой симметричен относительно прямой x = 0 и функции f2(x), график которой симметричен
относительно прямой x = a, a > 0. Значения функций f1 и f2 определим на отрезке
[–a, a], затем последовательно на отрезках [a, 3a], [– 3a, – a], [3a, 5a] и т.д.
На [– a, a] положим f1(x) = 0 (можно взять и любую чётную на [– a, a] функцию, обращающуюся в нуль на концах этого отрезка), а
f2(x) = f(x) – f1(x) = f(x). На отрезке [a, 3a] определим функцию f2(x) так, чтобы на [– a, 3a] её график был симметричен относительно прямой x = a, то есть f2(x) = f2(2a – x). Такое определение функции f2(x) корректно, так как если
x ∈ [a, 3a], то 2a – x ∈ [– a, a]. Функцию f1(x) на отрезке [a, 3a] определим равенством f1(x) = f(x) – f2(x). На отрезке [– 3a, – a] положим f1(x) = f1(– x), а f2(x) = f(x) – f1(x), на отрезке [3a, 5a] – f2(x) = f2(2a – x), а f1(x) = f(x) – f2(x), и т.д.
на [–a, a] f1(x) = 0, f2(x) = x;
на [a, 3a] f2(x) = 2a – x, f1(x) = 2(x – a);
на [– 3a, – a] f1(x) = – 2(x – a), f2(x) = 3x + 2a;
на [3a, 5a] f2(x) = 8a – 3x, f1(x) = 4x – 8a; и т.д.
