Задача 109610

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Токарев С.И.

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Решение

Предположим, что это так. Если прямая  x = u  – ось параболы  y = h(x),  то  h(x₁) = h(x₂)  тогда и только тогда, когда  x₁ + x₂ = 2u.  Многочлен  f(g(x)) имеет не более четырёх корней, но числа  h(1), h(2), ..., h(8)  являются его корнями, следовательно,  u = ⁹/₂  и  h(4) = h(5),  h(3) = h(6),  h(2) = h(7),
h(1) = h(8).  Отсюда же ясно, что числа h(1), h(2), h(3), h(4) образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трёхчлен  f(x) и его корни g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)) и g(h(4)), получаем, что  h(1) + h(4) = 2v,  h(2) + h(3) = 2v,  где прямая  x = v  – ось параболы  y = g(x).  Но из уравнения
h(1) + h(4) = h(2) + h(3)  для  h(x) = ax² + bx + c  следует, что  a = 0.  Противоречие.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	95.5.9.3