ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109610
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?


Решение

Предположим, что это так. Если прямая  x = u  – ось параболы  y = h(x),  то  h(x1) = h(x2)  тогда и только тогда, когда  x1 + x2 = 2u.  Многочлен  f(g(x)) имеет не более четырёх корней, но числа  h(1), h(2), ..., h(8)  являются его корнями, следовательно,  u = 9/2  и  h(4) = h(5),  h(3) = h(6),  h(2) = h(7),
h(1) = h(8).  Отсюда же ясно, что числа h(1), h(2), h(3), h(4) образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трёхчлен  f(x) и его корни g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)) и g(h(4)), получаем, что  h(1) + h(4) = 2vh(2) + h(3) = 2v,  где прямая  x = v  – ось параболы  y = g(x).  Но из уравнения
h(1) + h(4) = h(2) + h(3)  для  h(x) = ax² + bx + c  следует, что  a = 0.  Противоречие.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 95.5.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .