|
|
 |
Условие
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Решение
Заметим, что 459 + 495 = 954, а 1995 делится на 3. Поэтому искомыми будут, например, числа 459459...459 (665 троек), 495495...495 (665 троек) и их сумма.
Замечания
1. Отметим, что 459, 495 и 954 – периоды десятичных разложений дробей 51/111, 55/111 и их суммы 106/111.
2. Дроби с одинаковыми знаменателями разбиваются на группы дробей с одинаковыми наборами цифр в периоде: 2/13 = 0,(153846), 5/13 = 0,(384615),
7/13 = 0,(538461), (таким образом, 153846 + 384615 = 538461); 1/13 = 0,(076923), 3/13 = 0,(230769) и т.п. Добавляя к периодам из одной группы необходимое числа девяток, можно получить другие тройки искомых похожих чисел. Например: 153849...96 + 384619...95 = 538469...91.
